La importancia de la teoría de proporciones en el álgebra

Espero les guste. Pero principalmente me importa que a mi profesor de historia de las mates le guste más.

“Cualquier problema geométrico puede ser reducido a tales términos que el conocimiento de las longitudes de ciertas líneas rectas es suficiente para su construcción” es la frase con la que Rene Descartes comienza su importante tratado, La Geometría, en donde procura transmitir la idea que unifica a dos ramas de las matemáticas hasta su tiempo tratadas como diferentes aun cuando se sospechaba que podía existir una relación entre ambas, aunque nunca hasta él se formaliza tal idea.

Desde la época euclidiana, la teoría de proporciones juega un papel de suma importancia para la resolución de problemas y teoremas geométricos, así como para aquellos que eventualmente terminaron siendo conocidos como problemas de la teoría de los números. Sin embargo, los griegos fueron incapaces de establecer la relación entre álgebra y geometría que hoy conocemos popularmente como geometría analítica. Tal relación es de suma importancia y como Descartes nos cuenta, funciona perfectamente para “manejar las limitaciones de una con las posibilidades que nos brinda la otra”

La maduración del concepto de número es pieza clave para que la teoría de proporciones evolucione, de mano de matemáticos como Viete, a una más formal teoría de resolución de ecuaciones e incluso a la antes citada geometría analítica. Creo que tal relación entre estas dos disciplinas (geometría al estilo antiguo y resolución de ecuaciones) no pudo darse hasta la formalización y entendimiento claro del concepto de número, lo cual nos lleva, como Descartes dice, a comparar la magnitud de líneas rectas con una unidad, es decir, relacionar a las líneas “tan cercanamente como se pueda con los números”.

La teoría de proporciones es fundamental en el desarrollo del álgebra como sabemos y es gracias a una idea más madura del concepto de número que los problemas geométricos pueden ser relacionados directamente con una ecuación de forma que la solución de una (sea ecuación o construcción geométrica) nos lleva directamente a la solución de la otra. Los matemáticos de la antigüedad, creo, no pudieron llevar a cabo tal “unificación” como Viete y Descartes (entre otros) logran hacer pues tal no es tan evidente hasta establecer la relación entre magnitudes y números como propone este último autor en La Geometría.

Como sabemos, los antiguos entendían claramente el concepto de proporción entre magnitudes e incluso pudieron distinguir entre dos razones de distintas magnitudes. Un ejemplo sencillo podría ser aquel en que Euclides prueba la igualdad de dos pirámides: si A y B son las áreas de las bases de tales pirámides con la misma altura y C y D sus respectivos contenidos, ambos sólidos serán iguales si A:B::C:D. Es decir, claramente sabían distinguir entre la razón de las áreas de las bases y los contenidos de las pirámides.

El “problema” es que los antiguos nunca compararon directamente magnitudes de distinta índole. Por ejemplo, nunca relacionaron en una proporción el área de la base de una pirámide con su contenido, o para verlo de una manera más clásica, no establecieron una proporción del estilo “el contenido de una pirámide es a su base como el contenido otra pirámide de igual altura es a su respectiva base” para encontrar la igualdad entre ambas. Así pues, a los antiguos nunca les gustó en lo más mínimo una expresión del tipo (a^3 - b^2)/5c donde en aquel entonces se leía “el cubo construido sobre a menos el cuadrado construido sobre b, todo sobre cinco veces la línea c”. Simplemente para los griegos el “dividir” una figura plana entre una línea era una idea sin sentido alguno, y mucho menos el “restar” un cuadrado a un cubo, etc. El relacionar magnitudes directamente con números reales nos permite entender esa expresión no estrictamente como una construcción geométrica, e incluso, no como una ecuación; podemos darle un significado distinto dependiendo del contexto en que nos encontremos. Esto es posible gracias al entendimiento de las magnitudes a, b y c como números y no como un objeto físico construíble al estilo griego.

Esta idea es concebida en algunos griegos, como podemos ver en Proclo cuando pregunta “¿quién será el hombre que, en contraste con el geómetra y aritmético demuestre, por ejemplo, que el alternar la segunda y tercera magnitudes en una relación de proporción produce, de nuevo, otra proporción?”. Tal idea toma mucha fuerza durante los siglos XVI y XVII a tal grado que, matemáticos como Viete, se encaminan en la reinterpretación de algunas ideas de la antigüedad bajo nuevas condiciones. Él tiene claro esto, que en La Geometría toma verdadera importancia y prepara el camino para que posteriormente las magnitudes geométricas sean entendidas como números y ser tratados con ecuaciones de tal forma que se pueda resolver un problema geométrico sin la necesidad de una construcción y viceversa.

Viete, por ejemplo, conoce muy bien el trabajo de Diofanto y trabaja en establecer una relación con la teoría de proporciones de Eudoxo y así, puede llegar a la conclusión que muchos problemas geométricos pueden ser resueltos de tal manera que uno pueda llevar dicho problema a una proporción de la cual se puede extraer una ecuación. El resto del problema es simplemente resolver tal ecuación e interpretar su solución. Como sabemos, es por tal concepción de la teoría de proporciones como una ecuación que se entiende el problema Délico como aquel en donde es necesario extraer una raíz cúbica, problema muy común en el álgebra. Es aquí donde la relación número-magnitud tiene una importancia grande pues hasta no tener claro que las magnitudes se relacionan íntimamente con los números, el problema Délico aunque soluble, es delicado de tratar a través de una complicada construcción geométrica que va más allá de las posibles con líneas rectas y circunferencias.

El conflicto que puede traer la “falta de maduración” de un concepto o idea matemática y las muchas posibilidades que abre el entendimiento del mismo no es algo único al de la teoría de proporciones y el álgebra del siglo XVII. Un ejemplo muy bueno de esto es el del concepto de función, el cual no fue formalizado hasta principios del siglo XX y desde entonces, muchos de los teoremas más fuertes del análisis o cálculo encontraron solución y no antes. Me queda claro que Viete y Descartes son dos de los más importantes exponentes de la interpretación de la teoría de proporciones como un preludio a la unión entre álgebra y geometría y es gracias a esta relación “muy cercana” entre magnitudes y números lo que permite hacer esto, pero no es sino hasta que el concepto de número madura y puede entenderse como aquella relación entre dos magnitudes del mismo tipo, como la definía Euclides.

Quiero decir con eso que gracias a la asociación que se establece entre una razón y un número real es que es posible encontrar la relación entre álgebra y geometría como Descartes propone. Sin embargo, es por la teoría de proporciones que podemos ver el nacimiento de esta nueva relación entre dos áreas de la matemática que hasta el siglo XVII habían sido tratadas como esencialmente distintas y sin mucho parentesco; el poder establecer relaciones entre magnitudes de tal forma que podamos utilizar las propiedades de éstas para encontrar la solución a una construcción geométrica es en realidad el centro de la teoría de resolución de ecuaciones y es por el entendimiento de la relación entre números y magnitudes que la teoría de proporciones se vuelve un pilar fundamental en esta área de las matemáticas.